2 — Características do Assobio Humano e Modelagem do Sinal
2.1 O assobio como sinal físico
Antes de escrever qualquer linha de código, precisamos entender o fenômeno físico que estamos tentando detectar.
Um assobio humano pode ser modelado, com boa aproximação, como:
- Um sinal quase periódico
- Dominado por uma frequência fundamental ( f_0 )
- Acompanhado de harmônicas inteiras ( 2f_0, 3f_0, \dots )
- Com baixa modulação de amplitude quando comparado à fala
Matematicamente, podemos expressar um assobio ideal como:
\[
x(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k \sin(2\pi k f_0 t + \phi_k)
\]
Onde:
- \( A_k \) são as amplitudes das harmônicas
- \( f_0 \) é a frequência fundamental
- \( \phi_k \) são as fases
Na prática, o termo dominante é quase sempre o fundamental, o que favorece a detecção por métodos baseados em periodicidade.
2.2 Faixa típica de frequências do assobio humano
Em medições reais, observa-se que:
- Assobios graves: ~800 Hz
- Assobios médios: 1,2 kHz a 2 kHz
- Assobios agudos: até ~3 kHz
Acima disso, a energia cai rapidamente.
Isso é importante porque define diretamente o projeto do filtro digital.
Para a BitDogLab com RP2040, uma escolha prática é:
- Frequência de amostragem:
\[
f_s = 8\text{ kHz ou } 10\text{ kHz}
\]
Isso garante:
- Pelo menos 2,5× a maior frequência de interesse
- Margem confortável para filtros digitais simples
- Baixa carga computacional
2.3 Sinal amostrado no ADC do RP2040
No domínio discreto, o sinal passa a ser:
\[
x[n] = x(nT_s)
\quad \text{onde} \quad T_s = \frac{1}{f_s}
\]
O ADC do RP2040 retorna valores inteiros, normalmente:
- 12 bits: \( 0 \rightarrow 4095 \)
- Offset DC em torno de metade da escala
Antes de qualquer processamento, precisamos remover o offset DC, pois ele prejudica tanto o filtro quanto o cepstrum.
Uma forma simples e eficiente:
\[
x_{ac}[n] = x[n] – \mu
\]
Onde \( \mu \) é a média móvel do sinal.
Isso já antecipa uma regra importante:
Todo DSP em microcontrolador começa com um bom pré-processamento.
2.4 Por que separar fundamental e harmônicas?
Pode parecer estranho separar algo que, no final, será usado junto novamente.
Mas isso tem um motivo claro:
- A fundamental carrega a informação de pitch
- As harmônicas reforçam a periodicidade
- Ruídos tendem a não apresentar estrutura harmônica coerente
Ao filtrar corretamente:
- A energia do assobio se concentra
- O cepstrum passa a apresentar picos bem definidos
- O limiar de detecção pode ser simples e robusto
Em outras palavras:
O filtro prepara o sinal para que o cepstrum “funcione bem”.
2.5 Introdução intuitiva às Séries de Taylor
Antes de usar Séries de Taylor como filtro, precisamos entender o que elas fazem.
Uma Série de Taylor aproxima uma função ao redor de um ponto:
\[
f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \frac{f”'(0)}{3!}x^3 + \dots
\]
No contexto de sinais:
- Derivadas representam variações rápidas
- Combinações de derivadas funcionam como operadores de realce ou atenuação
No domínio discreto:
- Derivadas viram diferenças finitas
- Séries truncadas viram filtros FIR extremamente simples
É exatamente isso que exploraremos na próxima seção.
2.6 Ponte conceitual: derivadas → filtros
Considere a primeira derivada discreta:
\[
\frac{dx}{dt} \approx \frac{x[n] – x[n-1]}{T_s}
\]
Isso é, essencialmente, um filtro passa-altas.
Já uma combinação do tipo:
\[
x[n] – \alpha (x[n] – 2x[n-1] + x[n-2])
\]
Resulta em um operador que:
- Atenua baixas frequências
- Controla ganho nas médias
- Pode ser ajustado para reforçar uma banda específica
Ou seja:
Filtros digitais são operadores diferenciais discretizados.
Séries de Taylor nos dão um caminho matemático direto para construí-los.
