Filtro Digital com Séries de Taylor e Cepstrum para Detecção de Assobio em RP2040

3 — Construção do Filtro Digital usando Séries de Taylor (Teoria + Primeira Implementação)

3.1 Ideia central: Taylor como operador espectral

Vamos agora sair da intuição e entrar no mecanismo matemático.

Em DSP clássico, filtros passa-faixa normalmente são obtidos por:

• Convolução FIR
• Estruturas IIR
• Transformadas no domínio da frequência

Aqui adotamos um caminho diferente: usar expansões de Taylor para aproximar operadores diferenciais, que por sua natureza realçam ou atenuam componentes espectrais específicas.

A Série de Taylor de um sinal x(t) em torno de t é:

\[
x(t + \Delta t) =
x(t) – \Delta t \frac{dx}{dt} – \frac{\Delta t^2}{2!} \frac{d^2x}{dt^2} – \frac{\Delta t^3}{3!} \frac{d^3x} {dt^3} – \dots
\]

Se reorganizarmos os termos, percebemos que combinações lineares de derivadas constroem operadores seletivos em frequência.

3.2 Derivadas discretas (diferenças finitas)

No domínio discreto:

• Primeira derivada:
  \[
  x'(n) \approx x[n] – x[n-1]
  \]
• Segunda derivada:
  \[
  x”(n) \approx x[n] – 2x[n-1] + x[n-2]
  \]

Esses operadores têm respostas conhecidas:

• 1ª derivada → passa-altas
• 2ª derivada → realce de médias frequências

Ao combinar esses termos com pesos adequados, obtemos um passa-faixa simples, centrado na região do assobio.

3.3 Filtro passa-faixa baseado em Taylor (modelo)

Definimos o filtro como:

\[
y[n] = x[n] – a_1 (x[n] – x[n-1]) – a_2 (x[n] – 2x[n-1] + x[n-2])
\]

Onde:

• \( a_1 \) controla a atenuação de baixas frequências
• \( a_2 \) controla o reforço/atenuação das médias
• Altas frequências acabam naturalmente limitadas pela discretização

Valores típicos iniciais (empíricos, estáveis):

a1 = 0.5
a2 = 0.25

a1 = 0.5
a2 = 0.25

Este filtro:

• Atenua DC e variações lentas
• Preserva sinais periódicos estáveis
• É extremamente barato computacionalmente

3.4 Estrutura do código (incremental)

Antes do código completo, vamos estruturar o estado do filtro, algo essencial em firmware real.

3.4.1 Estrutura de estado do filtro

typedef struct {
    float x1;
    float x2;
} taylor_filter_t;

typedef struct {
    float x1;
    float x2;
} taylor_filter_t;

• x1 → amostra anterior
• x2 → amostra retrasada

3.5 Implementação do filtro em C (primeira versão)

float taylor_bandpass_step(taylor_filter_t *f, float x)
{
    const float a1 = 0.5f;
    const float a2 = 0.25f;

    float dx1 = x - f->x1;
    float dx2 = x - 2.0f * f->x1 + f->x2;

    float y = x - a1 * dx1 - a2 * dx2;

    f->x2 = f->x1;
    f->x1 = x;

    return y;
}

float taylor_bandpass_step(taylor_filter_t *f, float x)
{
    const float a1 = 0.5f;
    const float a2 = 0.25f;

    float dx1 = x - f->x1;
    float dx2 = x - 2.0f * f->x1 + f->x2;

    float y = x - a1 * dx1 - a2 * dx2;

    f->x2 = f->x1;
    f->x1 = x;

    return y;
}

Esse código:

• Não usa FFT
• Não usa buffers grandes
• Não depende de bibliotecas externas
• Executa em poucos ciclos de CPU

Perfeito para o RP2040.

3.6 Integração inicial com o ADC (BitDogLab)

Agora vamos conectar esse filtro ao mundo real.

3.6.1 Leitura básica do ADC

float read_adc_normalized(void)
{
    uint16_t raw = adc_read();   // 0–4095
    return ((float)raw - 2048.0f) / 2048.0f;
}

float read_adc_normalized(void)
{
    uint16_t raw = adc_read();   // 0–4095
    return ((float)raw - 2048.0f) / 2048.0f;
}

Isso nos fornece um sinal:

• Centrado em zero
• Normalizado entre aproximadamente −1 e +1

3.7 Primeiro loop funcional (sem cepstrum ainda)

taylor_filter_t filter = {0};

while (true) {
    float x = read_adc_normalized();
    float y = taylor_bandpass_step(&filter, x);

    // aqui ainda não fazemos nada com y
    sleep_us(125); // ~8 kHz
}

taylor_filter_t filter = {0};

while (true) {
    float x = read_adc_normalized();
    float y = taylor_bandpass_step(&filter, x);

    // aqui ainda não fazemos nada com y
    sleep_us(125); // ~8 kHz
}

Neste ponto:

• O sistema já está filtrando o sinal
• Podemos observar y no debugger ou via UART
• Assobios já aparecem com amplitude bem maior que ruído

3.8 Validação prática (o que observar)

Ao assobiar próximo ao microfone:

• y[n] apresenta uma oscilação limpa
• Ruídos aleatórios ficam muito atenuados
• Voz falada perde energia rapidamente

Isso confirma:

O filtro baseado em Séries de Taylor está funcionando como passa-faixa.