Filtros Estatísticos em Sistemas Embarcados: EMA, Wiener e Kalman Aplicados ao RP2040

3 — Filtro de Kalman: estimação de estados, incerteza e predição

Se o Filtro de Wiener pode ser visto como um estimador ótimo estático, o Filtro de Kalman é a sua evolução natural para sistemas dinâmicos. Ele responde a uma pergunta ainda mais poderosa:

Qual é o estado mais provável do sistema agora — e qual será o próximo — considerando medições ruidosas e um modelo físico?

Aqui entramos em um território onde filtro, estimador e decisor se tornam praticamente a mesma coisa.

3.1 Intuição antes da matemática

A ideia central do Kalman é simples quando vista corretamente:

• Toda medição é incerta
• Todo modelo é imperfeito
• A melhor estimativa surge do equilíbrio entre os dois

O filtro de Kalman faz isso explicitamente, mantendo:

• Uma estimativa do estado
• Uma estimativa da incerteza dessa estimativa

Isso é algo que nem a EMA nem o Wiener fazem de forma explícita.

3.2 Modelo de estado (caso 1D)

Para sistemas embarcados simples, um Kalman 1D já resolve muitos problemas.

Modelo:

\[
x_k = x_{k-1} + w_k
\]
\[
z_k = x_k + v_k
\]

Onde:

• \(x_k\): estado verdadeiro (desconhecido)
• \(z_k\): medição
• \(w_k\): ruído do processo (modelo)
• \(v_k\): ruído da medição (sensor)

Variâncias:

• \(Q = \mathrm{Var}(w)\) → confiança no modelo
• \(R = \mathrm{Var}(v)\) → confiança no sensor

3.3 Ciclo do Kalman: previsão e correção

O Kalman funciona em dois passos repetidos a cada amostra.

1️⃣ Previsão

\[
\hat{x}^- = \hat{x}
\]
\[
P^- = P + Q
\]

2️⃣ Correção

\[
K = \frac{P^-}{P^- + R}
\]
\[
\hat{x} = \hat{x}^- + K(z – \hat{x}^-)
\]
\[
P = (1 – K) P^-
\]

Onde:

• \(\hat{x}\): estimativa
• \(P\): incerteza
• \(K\): ganho de Kalman (adaptativo!)

Observe algo importante:

O ganho K não é escolhido arbitrariamente — ele emerge do balanço entre Q e R.

3.4 Comparação conceitual com EMA e Wiener

Há uma razão pela qual o Kalman aparece como “complexo” em livros: ele generaliza os outros filtros.

• EMA ≈ Kalman com Q e R fixos e implícitos
• Wiener ≈ Kalman sem dinâmica (estado constante)
• Kalman → Wiener + tempo + incerteza explícita

Isso explica por que:

Todo engenheiro usa Kalman, mesmo sem perceber.

3.5 Implementação Kalman 1D em C (viável em MCU)

Estrutura mínima:

typedef struct {
    float x; // estimativa do estado
    float P; // incerteza
    float Q; // ruído do processo
    float R; // ruído da medição
} kalman1d_t;

typedef struct {
    float x; // estimativa do estado
    float P; // incerteza
    float Q; // ruído do processo
    float R; // ruído da medição
} kalman1d_t;

Inicialização:

static inline void kalman_init(kalman1d_t *k,
                               float x0,
                               float P0,
                               float Q,
                               float R)
{
    k->x = x0;
    k->P = P0;
    k->Q = Q;
    k->R = R;
}

static inline void kalman_init(kalman1d_t *k,
                               float x0,
                               float P0,
                               float Q,
                               float R)
{
    k->x = x0;
    k->P = P0;
    k->Q = Q;
    k->R = R;
}

Passo completo:

static inline float kalman_step(kalman1d_t *k, float z)
{
    // Previsão
    k->P += k->Q;

    // Ganho
    float K = k->P / (k->P + k->R);

    // Correção
    k->x += K * (z - k->x);
    k->P *= (1.0f - K);

    return k->x;
}

static inline float kalman_step(kalman1d_t *k, float z)
{
    // Previsão
    k->P += k->Q;

    // Ganho
    float K = k->P / (k->P + k->R);

    // Correção
    k->x += K * (z - k->x);
    k->P *= (1.0f - K);

    return k->x;
}

Custo:

• Algumas somas e multiplicações
• Nenhuma matriz
• Ideal para loop rápido

3.6 Escolhendo Q e R (engenharia prática)

Essa é a parte onde Kalman “ganha fama de difícil”, mas na prática:

• R → quanto você confia no sensor
• Q → quanto você confia no modelo

Regras práticas:

Não existe valor “correto” universal — existe valor adequado ao sistema.

3.7 Quando Kalman é a escolha certa

Use Kalman quando:

• O sistema tem dinâmica (movimento, variação)
• O estado não é diretamente observável
• Você precisa prever
• A incerteza importa

Exemplos típicos:

• Fusão de sensores
• Estimativa de posição/velocidade
• Filtragem de sinais lentos com ruído
• Controle e navegação

3.8 Onde Kalman não compensa

Não use Kalman quando:

• O sinal é puramente aleatório
• Não há modelo físico
• Uma EMA resolve
• O custo cognitivo não se justifica

Usar Kalman sem modelo é apenas EMA complicada.