LPCC (Linear Prediction Cepstral Coefficients): Fundamentos, Algoritmos e Aplicações em Sistemas Embarcados

3 — CEPSTRUM

O que significa Cepstrum

Cepstrum não é um acrônimo, mas um conceito matemático fundamental em processamento de sinais, especialmente em fala e análise espectral.
O termo surgiu como um trocadilho técnico a partir de Spectrum → Cepstrum, indicando que estamos lidando com um “espectro do espectro”.

Formalmente, o cepstrum real de um sinal ( x[n] ) é definido como:

\[
c[n] = \mathcal{F}^{-1} \left{ \log \left| \mathcal{F}{x[n]} \right| \right}
\]

onde:

• \( \mathcal{F} \) é a Transformada de Fourier
• \( \log(\cdot) \) converte multiplicações em somas
• \( \mathcal{F}^{-1} \) retorna ao domínio temporal “modificado”

O resultado não é tempo, mas sim quefrência — outro termo propositalmente invertido.

Intuição física do Cepstrum

O cepstrum explora um fato essencial:

• No domínio do tempo → convolução
• No domínio da frequência → multiplicação
• No domínio do log-espectro → soma

Isso permite separar componentes que, no tempo, estão misturadas:

• Componentes lentas → envoltória espectral (filtro)
• Componentes rápidas → excitação (fonte)

Na fala:

• Trato vocal → baixa quefrência
• Cordas vocais (pitch) → alta quefrência

Na vibroacústica:

• Estrutura mecânica → baixa quefrência
• Excitação periódica → alta quefrência

Cepstrum “clássico” vs Cepstrum via LPC

Aqui está um ponto central do artigo de referência.

Existem duas formas principais de obter coeficientes cepstrais:

1. Cepstrum via FFT (cepstrum clássico)

Pipeline típico:

1. FFT
2. Magnitude
3. Log
4. IFFT

Problemas:

• Alto custo computacional
• Sensível a ruído
• Pouco adequado a firmware simples

2. Cepstrum via LPC (LPCC)

Pipeline:

1. Modelagem tudo-polo (LPC)
2. Conversão analítica para cepstrum

Vantagens:

• Sem FFT
• Coerente com o modelo físico
• Ideal para sistemas embarcados
• Menor variância estatística

👉 LPCC é um cepstrum derivado do modelo, não do sinal bruto.

Por que o Cepstrum é tão poderoso

Do ponto de vista matemático:

• Ele transforma multiplicação espectral em soma
• Permite separar fatores geradores do sinal
• Cria um espaço quase linear para classificação

Do ponto de vista prático:

• Pequenas variações no sinal → pequenas variações no cepstrum
• Ótimo para:
  • Distância euclidiana
  • K-means
  • GMM
  • HMM
  • SVM clássicos

Por isso, cepstrum é uma ponte natural entre DSP clássico e Machine Learning estatístico.

Quefrência: interpretação correta

Apesar do nome confuso, a quefrência pode ser entendida como:

• Um “pseudo-tempo”
• Medida da periodicidade no espectro
• Relacionada a:
  \[
  \text{quefrência} \approx \frac{1}{f}
  \]

Exemplo:

• Pitch de 100 Hz → quefrência ≈ 10 ms
• Harmônicos espaçados → picos claros no cepstrum

No LPCC:

• Essa interpretação direta é menos usada
• O foco está no vetor de características, não na leitura física direta

Conexão direta com LPCC

Agora o encaixe conceitual fica claro:

• LPC → modelo do sistema
• Cepstrum → descrição separável do modelo
• LPCC → cepstrum do filtro LPC

Ou seja:

LPCC é o cepstrum do trato vocal / sistema mecânico estimado pelo LPC

Isso explica por que LPCC:

• É mais estável
• É mais compacto
• Generaliza melhor